Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

Introduction


La simulation de textures aléatoires est au centre de cette thèse, qu'elles soient à deux ou trois dimensions. Lorsque se combinent des phénomènes physico-chimiques de réactions et de diffusion entre fluides, il arrive que des hétérogénéités de concentrations se développent, et se structurent à travers l'espace. Les images de tels milieux constituent une classe de textures aux propriétés particulières, et pour lesquelles il reste encore beaucoup à découvrir. Nous avons souhaité construire et étudier des modèles permettant de reproduire virtuellement les mécanismes qui leur donnent naissance. Au niveau mathématique, on considèrera une classe de modèles, dits de réaction-diffusion, établis à partir de problèmes qui débordent largement du domaine de la Chimie, tout en restant très proches du point de vue phénoménologique. Les textures ou structures étudiées sont intrinsèquement aléatoires. En effet, leur génèse requiert que les concentrations initiales des fluides présentent de quelconques irrégularités - obtenues usuellement au moyen de perturbations aléatoires.

La théorie des ensembles fermés aléatoires constitue une branche de la Morphologie Mathématique fondée par G. Matheron. Trente années se sont écoulées, qui ont donné lieu à de nombreuses avancées théoriques, aussi bien qu'à la mise en application de ces modèles afin de résoudre divers problèmes industriels. Nous commencerons donc par - modestement - rappeler quelques principes essentiels propres aux modèles aléatoires. Avant de poursuivre, il nous a semblé intéressant de présenter, à titre d'exemple, une classe de modèles très utilisés, les modèles aléatoires à grains primaires. Notre première partie s'achèvera par la description d'une application concrète d'un modèle aléatoire: la simulation de structures polycristallines, en partenariat avec l'Institut de Recherche Sidérurgique (IRSID).

Avant d'entrer pleinement dans notre sujet, nous avons également à introduire les modèles de diffusion pure. En effet, un même modèle de réaction pourra être combiné aux modèles de diffusion considérés à différentes échelles, qui lui conféreront une partie de ses propriétés. Il existe ainsi des modèles à l'échelle macroscopique, où les concentrations représentent directement les variables étudiées. D'autres modèles sont à l'échelle microscopique, où les fluides sont décomposés en ensembles de particules élémentaires. C'est par exemple le cas des Gaz sur Réseau, que nous présenterons; des concepts plus généraux tels que les systèmes de particules ou les automates cellulaires seront également évoqués. Comment peut-on estimer les propriétés diffusives d'un matériau poreux ? Dans une étude en partenariat avec le Commissariat à l'Energie Atomique, nous avons reconstruit un modèle du milieu poreux en trois dimensions, après traitement d'images correspondant aux coupes du matériau. La diffusion a ensuite été simulée au moyen de marcheurs aléatoires qui circulent dans le milieu et se heurtent à ses parois.

La partie principale de cette thèse a pour objectif de donner un large aperçu des textures générées par réaction-diffusion, et de suggérer ainsi de possibles applications aux chercheurs en prise avec des problèmes concrets de modélisation. Les textures générées auraient sans doute également un grand intérêt dans le domaine très porteur de l'imagerie de synthèse, en raison de leurs qualités artistiques et leur réalisme. A partir d'un Gaz sur Réseau disposant d'un opérateur de réaction, des textures ont d'abord été produites selon des règles définies à l'échelle microscopique. Les avantages d'une telle approche seront détaillées; citons en particulier la possibilité de déformer les textures sur des bases physiques, par modification de l'hydrodynamique. Cependant, l'implantation de modèles à l'échelle macroscopique s'avère plus aisée dans sa réalisation. Elle permet d'exploiter directement de nombreux systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires de réaction-diffusion présents dans la littérature. Sur ce point, notre apport a été, d'une part, de réaliser des simulations tridimensionnelles et de mettre en valeur leurs résultats par des techniques de visualisation adéquates. D'autre part, des mesures morphologiques des textures ont été réalisées sur des séries de simulations. Dans une majorité de cas, il n'existe pas d'estimations théoriques pour de telles mesures, qui peuvent donc nourrir de nouvelles conjectures quant aux propriétés parfois étonnantes des modèles de réaction-diffusion. L'application d'algorithmes issus du traitement d'image constitue une approche originale; les textures ont par exemple été segmentées afin de mesurer ensuite la connexité de leur éléments constitutifs. Nous espérons aussi avoir mis en évidence des comportements dynamiques encore mal expliqués par la théorie, grâce à l'analyse de séquences vidéo de simulations. Par ailleurs, nous avons engagé une réflexion concernant la création de nouveaux modèles en tant qu'extensions de modèles existants. Quelques pistes seront données pour l'obtention de modèles qui puissent présenter des caractéristiques dignes d'intérêt. Des résultats très prometteurs seront présentés.

Enfin, notre dernière partie sera consacrée à une étude conséquente ayant pour but de simuler des dépôts de matière produits par la technique de la projection plasma. Un modèle de réaction-diffusion bien spécifique a été construit afin de répondre au problème industriel posé, en partenariat avec le Centre des Matériaux de l'Ecole des Mines de Paris, la Direction des Recherches et Etudes Techniques (DRET) du Ministère de la Défense, la société Matra, et l'Ecole Centrale de Paris. Il s'agit d'un modèle à l'échelle microscopique, qui se base sur un Gaz sur Réseau à deux espèces immiscibles. Des gouttelettes de matière en fusion sont projetées vers un substrat de géométrie quelconque, au contact duquel elles s'étalent et se solidifient. Le milieu résultant présente une microstructure stratifiée; sa modélisation repose ainsi sur la dynamique de sa formation. Ce travail original a donné lieu à de nombreuses publications, et des développements supplémentaires sont en projet.

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999