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La simulation de textures aléatoires est au centre de cette thèse, qu'elles soient à deux
ou trois dimensions. Lorsque se combinent des phénomènes physico-chimiques
de réactions et de diffusion entre fluides, il arrive que des hétérogénéités de
concentrations se développent, et se structurent à travers l'espace.
Les images de tels milieux constituent une classe de textures
aux propriétés particulières, et pour lesquelles il reste
encore beaucoup à découvrir.
Nous avons souhaité construire et étudier des modèles permettant de
reproduire virtuellement les mécanismes qui leur donnent naissance.
Au niveau mathématique, on considèrera une classe de modèles,
dits de réaction-diffusion, établis à partir de problèmes qui
débordent largement du domaine de la Chimie, tout en restant
très proches du point de vue phénoménologique. Les textures ou structures
étudiées sont intrinsèquement aléatoires. En effet, leur génèse requiert
que les concentrations initiales des fluides présentent de quelconques
irrégularités - obtenues usuellement au moyen de perturbations aléatoires.
La théorie des ensembles fermés aléatoires constitue une branche de la Morphologie
Mathématique fondée par G. Matheron. Trente années se
sont écoulées, qui ont donné lieu à de nombreuses avancées théoriques,
aussi bien qu'à la mise en application de ces modèles afin de résoudre divers
problèmes industriels. Nous commencerons donc par - modestement - rappeler quelques
principes essentiels propres aux modèles aléatoires. Avant de poursuivre,
il nous a semblé intéressant de présenter, à titre d'exemple, une classe de modèles très
utilisés, les modèles aléatoires à grains primaires. Notre première
partie s'achèvera par la description d'une application concrète d'un modèle aléatoire:
la simulation de structures polycristallines, en partenariat
avec l'Institut de Recherche Sidérurgique (IRSID).
Avant d'entrer pleinement dans notre sujet, nous avons également
à introduire les modèles de diffusion pure. En effet, un même
modèle de réaction pourra être combiné aux modèles de diffusion
considérés à différentes échelles, qui lui conféreront une partie
de ses propriétés.
Il existe ainsi des modèles à l'échelle
macroscopique, où les concentrations représentent directement
les variables étudiées. D'autres modèles sont à l'échelle
microscopique, où les fluides sont décomposés en ensembles
de particules élémentaires. C'est par exemple le cas des
Gaz sur Réseau, que nous présenterons; des concepts plus généraux
tels que les systèmes de particules ou les automates cellulaires
seront également évoqués. Comment
peut-on estimer les propriétés diffusives d'un matériau
poreux ? Dans une étude en partenariat avec le Commissariat
à l'Energie Atomique, nous avons reconstruit un modèle du milieu poreux
en trois dimensions, après traitement d'images correspondant aux coupes du matériau.
La diffusion a ensuite été simulée au moyen de marcheurs
aléatoires qui circulent dans le milieu et se heurtent à ses parois.
La partie principale de cette thèse a pour objectif de donner un large aperçu
des textures générées par réaction-diffusion, et de suggérer ainsi de possibles
applications aux chercheurs en prise avec des problèmes concrets de modélisation.
Les textures générées auraient sans doute également un grand intérêt dans le domaine
très porteur de l'imagerie de synthèse, en raison de leurs qualités artistiques et
leur réalisme. A partir d'un Gaz sur Réseau disposant d'un opérateur de réaction, des textures
ont d'abord été produites selon des règles définies à l'échelle microscopique.
Les avantages d'une telle approche seront détaillées; citons en particulier
la possibilité de déformer les textures sur des bases physiques,
par modification de l'hydrodynamique.
Cependant, l'implantation de modèles à l'échelle macroscopique s'avère plus
aisée dans sa réalisation. Elle permet d'exploiter directement de nombreux
systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires
de réaction-diffusion présents dans la littérature. Sur ce point,
notre apport a été, d'une part, de réaliser
des simulations tridimensionnelles et de mettre en valeur leurs résultats
par des techniques de visualisation adéquates. D'autre part, des mesures
morphologiques des textures ont été réalisées sur des séries de simulations.
Dans une majorité de cas, il n'existe pas d'estimations théoriques pour
de telles mesures, qui peuvent donc nourrir de nouvelles conjectures quant
aux propriétés parfois étonnantes des modèles de réaction-diffusion.
L'application d'algorithmes issus du traitement d'image constitue
une approche originale; les textures ont par exemple été segmentées
afin de mesurer ensuite la connexité de leur éléments constitutifs.
Nous espérons aussi avoir mis en évidence des comportements dynamiques
encore mal expliqués par la théorie, grâce à l'analyse de séquences vidéo de
simulations. Par ailleurs, nous avons engagé une réflexion concernant
la création de nouveaux modèles en tant qu'extensions de modèles
existants. Quelques pistes seront données pour l'obtention de modèles
qui puissent présenter des caractéristiques dignes d'intérêt.
Des résultats très prometteurs seront présentés.
Enfin, notre dernière partie sera consacrée à une étude conséquente
ayant pour but de simuler des dépôts de matière produits par la technique
de la projection plasma. Un modèle de réaction-diffusion bien spécifique
a été construit afin de répondre au problème industriel posé, en partenariat avec le
Centre des Matériaux de l'Ecole des Mines de Paris, la Direction des Recherches
et Etudes Techniques (DRET) du Ministère de la Défense, la société Matra,
et l'Ecole Centrale de Paris. Il s'agit d'un modèle à l'échelle microscopique,
qui se base sur un Gaz sur Réseau à deux espèces immiscibles. Des gouttelettes
de matière en fusion sont projetées vers un substrat de géométrie quelconque,
au contact duquel elles s'étalent et se solidifient. Le milieu résultant
présente une microstructure stratifiée; sa modélisation repose ainsi
sur la dynamique de sa formation. Ce travail original a donné lieu à de nombreuses
publications, et des développements supplémentaires sont en projet.
Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.