Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

Introduction

Tout phénomène physico-chimique impliquant diffusion (ou transport) et réactions chimiques peut être décrit par un modèle de réaction-diffusion. L'intérêt de cette classe de modèles en tant qu'outil pour la génèse de morphologies aléatoires fait l'objet de la partie centrale de cette thèse. Au travers de nombreuses simulations, nous allons donner un large aperçu de la diversité des textures ainsi synthétisées à deux ou trois dimensions.

Lorsqu'ils sont maintenus loin d'un équilibre thermodynamique, certains systèmes couplant réaction et diffusion de fluides ont la capacité de produire des variations spatiales de concentrations sous la forme de motifs qui présentent un haut niveau d'organisation [Turing52,Nicolis77]. Comparés aux textures rencontrées dans la nature, ces motifs montrent un degré de réalisme rarement atteint avec d'autres catégories de modèles. En 1952, dans les fondements d'une théorie de la morphogénèse chimique, Alan Turing a ainsi émis l'hypothèse qu'un mécanisme de réaction-diffusion est réellement à l'origine des structures présentes dans certains tissus biologiques - une chimie du vivant en quelque sorte. Si une telle hypothèse n'a jamais pu être démontrée, elle reste d'actualité alors que, dans ce domaine, les simulations informatiques conservent une large avance sur les expérimentations en laboratoire. En construisant un modèle mathématique simple à base d'équations aux dérivées partielles, Turing est parvenu à reproduire les structures qu'il observait. Ces toutes premières simulations étaient calculées manuellement. Mais presqu'en visionnaire, Turing prévoyait déjà l'intérêt extraordinaire de l'ordinateur dans ce domaine; nous espérons bien participer à lui donner raison.

Par ailleurs, le modèle de Turing ne fait intervenir que deux variables, qui représentent deux espèces chimiques imaginaires. Un système réactif réel implique souvent des dizaines d'espèces - ou même des centaines en biologie. Il semble que ce point pourrait expliquer: d'une part pourquoi les textures réelles sont plus variées que celles qui sont actuellement simulées, et d'autre part les différences - certes peu importantes - entre modèles et réalité. En conséquence, les modèles doivent être considérés pour la morphologie des structures qu'ils produisent, et non en tant que représentation quantitative d'une réalité a priori bien plus complexe.

Dans notre cadre, nous nous contenterons d'évoquer quelques exemples qui se prêtent particulièrement bien à l'application des textures générées par réaction-diffusion. En sciences de la Vie, les similarités les plus fortes se rencontrent dans les fourrures de certains mammifères (zébres, léopards et autres félins, etc...), dans la robe striée de certains poissons tropicaux, les plumages colorés d'oiseaux exotiques ou encore la pigmentation de coquillages. Dans tous ces cas, chaque individu montre un aspect légèrement différent et peut être considéré comme une réalisation d'un processus aléatoire. Les morphologies réelles des taches, rayures ou ocelles présentent une diversité plus grande par rapport aux textures de synthèse disponibles; nous proposerons quelques extensions des modèles existants pour tenter de combler quelque peu cet écart. En métallurgie, la structure de certains alliages ou eutectiques est également très proche des textures produites par réaction-diffusion.

Pour commencer, nous introduirons les équations de réaction-diffusion. D'une part, ces équations donnent un cadre mathématique aux modèles. D'autre part, elles permettent de les décrire formellement, autorisant ainsi leur généralisation à des domaines éloignés de la chimie, où les variables ne représentent plus nécessairement des concentrations. Le cas particulier du modèle linéaire de réaction-diffusion sera ensuite abordé. Pour ce modèle uniquement, les équations admettent une solution analytique et les expressions théoriques de mesures telles que l'auto-covariance peuvent être déterminées [Jeulin91]. En relation avec notre introduction aux modèles aléatoires à grains primaires, nous présenterons une simulation de ce modèle lineaire par implantation de fonctions primaires. Les simulations de réaction-diffusion seront aussi au centre des deux chapitres suivants. Dans le premier, la diffusion est prise en charge au niveau microscopique par un Gaz sur Réseau, tandis que des textures sont générées par l'ajout de réactions chimiques entre particules. La possibilité de déformer ces textures en intervenant sur l'hydrodynamique du système constitue le principal avantage de cette approche. Dans le second chapitre, plusieurs systèmes d'équations de réaction-diffusion seront directement implantés au niveau macroscopique par la méthode des différences finies, à deux et trois dimensions. A notre connaissance, il n'existe actuellement que bien peu de travaux concernant les aspects tri-dimensionnels de ces modèles, et les champs de simulation utilisés étaient encore de dimensions très réduites il y a quelques années (une grille de $ 20^3$ points dans [DeWit92]). Les difficultés qui ont été surmontées relèvent de l'important volume de calculs à réaliser - la parallélisation du problème a été très utile - et de la manière de visualiser les résultats. Enfin, nous proposerons quelques approches pour l'exploration de nouveaux modèles qui soient a priori intéressants. En particulier, la variation des coefficients de diffusion au cours des réactions s'avère extrêmement prometteuse. Cette méthode a déjà permis de produire des textures bien plus variées et encore inédites, montrant par exemple une hiérarchisation des structures.

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999