Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

Introduction

C'est pour rendre compte de la variabilité des phénomènes, que l'on est souvent amené à simuler, que des modèles aléatoires sont mis en oeuvre. De manière très générale, tout modèle qui introduit au moins une variable aléatoire doit être appréhendé en tant que modèle aléatoire. Cependant, introduire une variable aléatoire ne signifie pas que le phénomène simulé est intrinséquement aléatoire [Matheron89]. On effectue ainsi une simplification du problème, puisque une cause peut toujours être attachée à tout évènement réel, qui semblerait aléatoire a priori. Le hasard n'existe pas... et doit rester un concept métaphysique. Seul le modèle choisi peut être aléatoire. Evoquons plutôt l'idée de chaos déterministe, de systèmes multi-variables tels que seules des quantifications statistiques associées à un modèle aléatoire peuvent rendre compte de leur oscillations désordonnées, de leur instabilités ou encore de la formation d'hétérogénéités. Les phénomènes non-linéaires admettent des solutions multiples, qui sont sensibles aux conditions initiales.

Dans ce cadre, les modèles de structures aléatoires [Matheron75,Jeulin91] s'intéressent plus précisément à la reproduction spatiale d'un phénomène, à $ N$ dimensions. Ce point relie directement les modèles de structures aléatoires au domaine de l'analyse et du traitement des images. Les réalisations d'un modèle de structures aléatoires peuvent ainsi être représentées sous forme d'images aussi bien binaires que numériques à valeurs entières ou réelles. Or ces images occupent également une place importante dans les données qui sont indispensables à la construction d'un modèle - sauf en cas de modèle purement virtuel. Sous la forme de photographies, de micrographies, elles permettent donc une estimation directe du modèle par comparaisons d'images. Les domaines d'application des modèles aléatoires sont très vastes, des sciences de la terre (biologie, météorologie) aux sciences de la matière (métallurgie) - partout où des systèmes ou organisations complexes sont en jeu.

Il existe de très nombreuses classes de modèles aléatoires; les modèles de réaction-diffusion font l'objet d'une partie complète de cette thèse. Nous nous restreignons ici à deux exemples qui nous semblent représentatifs pour donner une idée plus globale des modèles aléatoires. D'une part, nous présenterons les modèles d'ensembles et de fonctions aléatoires à grains primaires, qui font partie intégrante de la morphologie mathématique. En 1975, le professeur Georges Matheron a fondé la théorie des ensembles aléatoires en un ouvrage qui fait désormais référence, "Random sets and integral geometry" [Matheron75]. D'autre part, nous rendrons compte d'une étude consacrée à la modélisation de polycristaux à l'aide de polyèdres de Voronoï.



Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999