Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

2.3 Extensions du modèle et résultats

La méthode proposée pour construire les polyèdres de Voronoï autorise de nombreuses extensions ou variantes. Des conditions aux limites périodiques peuvent être aisément imposées (comme c'est le cas sur les Figures I-7, I-10 et I-11) : le graphe de voisinage de la trame est alors simplement périodisé avant les calculs. Les effets de bord sont ainsi supprimés et des milieux infinis périodiques peuvent être simulés. Ce type de simulation périodique est très utile pour un calcul ultérieur d'homogénéisation par éléments finis.

Une anisotropie des grains peut également être générée en introduisant une déformation quelconque de la fonction distance (Figure I-8). Ainsi, on reproduit des structures mises en forme par laminage.

\begin{figure}
\par\centerline {\begin{tabular}{{p{5cm}p{5cm}p{5cm}}}
\fbox{\eps...
...uilles mortes
multi-phas\'ees (image de gauche).}}\\
\end{tabular}}\end{figure}

Par ailleurs, si l'on attribue aléatoirement une phase ou un constituant à chaque grain en respectant une distribution donnée, on engendre un modèle polycristallin multi-phasé. La répartition spatiale des phases peut, soit être uniforme, soit résulter d'un modèle aléatoire sous-jacent, et dans ce cas les phases sont réparties de manière non indépendante entre polyèdres. Pour ce faire, on affecte à chaque polyèdre la couleur ou valeur de gris prise par son centre dans une seconde image, appelée carte des phases. Sur la Figure I-9, cette carte des phases a été produite par un modèle de Feuilles Mortes multiphasées [Jeulin89], tandis que les phases sont décorrélées spatialement dans les exemples de la Figure I-10 - la phase de chaque grain étant alors tirée de manière indépendante.

Enfin, il est possible de rendre plus régulière la répartition spatiale des grains : une distance minimale $ r$ entre centres peut être introduite, ou bien, de manière plus générale, on imposera un noyau de répulsion quelconque autour de chaque centre, son volume ne devant contenir aucun autre centre. Dans ce cas, le positionnement des centres devient un processus séquentiel, qui utilise une image 3D supplémentaire enregistrant les positions devenues interdites. Les grains de faibles dimensions sont ainsi éliminés; le volume des grains est également rendu beaucoup plus homogène (Figure I-11b), comparativement au cas purement aléatoire (Figure I-11a).



Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999