Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

1.1 Principes

Lorsque l'on souhaite simuler la morphologie d'un matériau ou encore d'une texture quelconque, il est parfois possible de les considérer comme une combinaison - ou réunion - d'objets élémentaires, appelés grains primaires. Ces grains primaires peuvent être de simples primitives géométriques telles que des disques ou encore des polygones (en deux dimensions), mais également être extraits d'images réelles de référence, tels que des cratères de rugosité indentés sur la surface d'une tôle [Laurenge96]. Dans le cas où la surface du grain constitue le support d'une fonction numérique, on parlera plutôt de fonction primaire. Les valeurs de la fonction peuvent aussi bien traduire les élévations d'un relief qu'un niveau de luminosité. La Figure I-1 montre deux collections de fonctions primaires, représentées sous la forme d'images à niveaux de gris.

Un modèle aléatoire qui décrit le milieu étudié se décompose alors en (i) une population de grains ou fonctions primaires associés à leur proportions en nombre ou en volume, (ii) un mode d'implantation de ces grains primaires, qui inclut leur répartition spatiale. Le processus de simulation consiste à générer une réalisation du milieu qui respecte ces lois de distribution statistiques. Chaque grain primaire est susceptible d'être dupliqué et combiné au champ de simulation en de nombreuses positions, où des éléments de sa géométrie vont influencer la morphologie finale du milieu produit. Les paramètres du modèle sont par exemple déterminés par l'analyse de données réelles, telles que des micrographies du matériau. Inversement, par comparaison entre les réalisations d'un modèle et les images réelles à son origine, il est possible d'estimer d'autres paramètres (tels que des granulométries) qui sont directement accessibles dans le cas du modèle. En quelques mots, il s'agit de l'idée générale à la base des modèles aléatoires à grains primaires. Si le choix des grains primaires dépend librement du milieu à reproduire, les différents modes d'implantation sont à l'origine d'autant de modèles aléatoires distincts - dont nous allons donner un aperçu.

\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\psfig{figure=dist.eps,hei...
...bular}}\ \\
{\it Figure I-1 : Collections de fonctions primaires.}
\end{figure}



Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999