Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

1.2 Présentation de quelques modèles

1.2.1 Modèles de points aléatoires

Le modèle des points poissonniens n'est pas - au sens strict - un modèle aléatoire à grains primaires. Il est cependant à la base de la plupart des autres modèles. Pour rappel, il s'agit d'une réalisation de points aléatoires indépendants vérifiant une distribution spatiale uniforme avec une densité $ \theta$. Cette réalisation peut être enregistrée dans une image digitale binaire. Les points poissonniens constituent les positions d'implantation des grains primaires pour les modèles qui suivent. Par ailleurs, ce modèle très simple est également utilisé pour simuler des particules en suspension, ou encore les positions de germes dans un modèle de germination-croissance tel que les polyèdres de Voronoï mis en oeuvre au chapitre suivant.

Par extension, on construit d'autres modèles de points aléatoires qui ne vérifient plus une distribution spatiale uniforme, ou pour lesquels il n'y a plus indépendance entre les positions des points. C'est le cas du modèle "du noyau dur" (en anglais: hard-core), où une distance minimale de répulsion est associée à chaque point. Le processus de simulation de tels points est séquentiel: à chaque point implanté est associé une région interdite aux implantations de points suivantes. La régularité de la répartition spatiale des points aléatoires peut ainsi être étroitement controlée.

1.2.2 Schéma Booléen

L'idée intuitive du schéma booléen réside en un jet aléatoire de grains primaires. Dans sa version générale, ce modèle a été construit et étudié par Matheron [Matheron67,Matheron75]. Soit une simulation de points poissoniens $ x_{k}$. Un schéma booléen $ A$ est obtenu par l'implantation par $ union$ d'un grain primaire aléatoire $ A'$ en tout point $ x_{k}$ :

$\displaystyle A\ = \ \bigcup_{x_{k}} \ A'_{x_{k}}$ (I.-1)

$ A'_{x_{k}}$ représente le translaté du grain primaire $ A'$ au point $ x_{k}$.

On génère ainsi un ensemble aléatoire binaire, apte à décrire des structures biphasées. La Figure I-2 en donne deux exemples.

\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\psfig{figure=boolpp1.eps,...
... Ils sont ensuite
translatés aux points d'un processus de Poisson.}
\end{figure}

1.2.3 Fonctions aléatoires booléennes

Une fonction aléatoire booléenne (F.A.B.) représente l'équivalent du schéma booléen (binaire) pour un modèle aléatoire numérique. Ce modèle a été initialement introduit par Jeulin pour la simulation de surfaces rugueuses [Jeulin81]. Dans les références [Serra82,Serra88] sont présentées d'autres applications et extensions.

Une F.A.B. est basée sur un ensemble de fonctions primaires aléatoires $ Z'$ qui sont implantées par l'opérateur sup sur une réalisation de points poissonniens $ x_{k}$, soit

$\displaystyle Z\ = \ \bigvee_{x_{k}} \ Z'_{x_{k}}$ (I.-2)

La valeur finale en tout point d'une réalisation de F.A.B. correspond ainsi au maximum des valeurs des fonctions primaires qui se recouvrent en ce point. Les fonctions aléatoires sont usuellement représentées sous la forme d'images à niveaux de gris. La Figure I-3 montre des réalisations de F.A.B.; ce type de modèle produit des structures qui ont souvent l'aspect d'agrégats.

\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\psfig{figure=brfco1.eps,h...
...maires coniques avec distribution uniforme de rayons al\'eatoires.}
\end{figure}

1.2.4 Modèles aléatoires de Feuilles Mortes

Les modèles aléatoires de Feuilles Mortes ont été introduits par Jeulin en 1980 [Jeulin80,Jeulin81], à partir de travaux plus anciens de Matheron [Matheron68]. Le processus d'implantation est purement séquentiel : on simule le recouvrement successif de grains primaires, d'où l'analogie avec la chute de feuilles mortes qui a donné son nom au modèle. Lorsque deux feuilles se superposent, c'est la dernière feuille tombée qui occupe la zone de recouvrement. La valeur finale en tout point d'une réalisation correspond à celle de la dernière fonction ou grain primaire qui recouvre ce point.

Il existe des modèles multi-phasés de feuilles mortes - appelés feuilles mortes colorées [Jeulin80] - pour lesquels on implante des grains primaires appartenant à une phase tirée aléatoirement (par exemple, des grains noirs ou blancs comme sur la Figure I-4a). Dans le cas de modèles numériques, les fonctions aléatoires de feuilles mortes [Jeulin89] rendent particulièrement bien compte d'une profondeur de champ (Figure I-4b). Ils sont par exemple adaptés à la simulation de micrographies de grains de poudres.

\begin{figure}
\par\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\psfig{figure=fmco6.ps...
...ure I-4 : R\'ealisations de modèles aléatoires de feuilles mortes.}
\end{figure}

1.2.5 Fonctions aléatoires de dilution

Dans une fonction aléatoire de dilution [Serra68], les fonctions primaires $ Z'$ sont implantées par addition, soit

$\displaystyle Z\ = \ \sum_{x_{k}} \ Z'_{x_{k}}$ (I.-3)

Si l'on considère les réalisations de ces modèles en tant que surfaces (ou reliefs), ils s'avèrent bien adaptés aux situations où des empilements statiques de matière ou d'objets sont observés, sans écoulements ou déplacements ultérieurs à leurs implantions.

\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\psfig{figure=drfco1.eps,h...
...t Figure I-5 : R\'ealisations de fonctions aléatoires de dilution.}
\end{figure}

1.2.6 Fonctions aléatoires séquentielles-alternées

Dans ce modèle introduit par Jeulin [Jeulin91], les fonctions primaires sont implantées alternativement par le sup et par l' inf. Pour une application à la simulation de surfaces rugueuses, ce cycle se décompose ainsi en une phase d'apport - ou de dépôt - de matière, et une phase d'abrasion - ou d'érosion. On pourra utiliser des familles de fonctions primaires différentes pour les deux phases.

\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\psfig{figure=asrfco1.eps,...
... : R\'ealisations de fonctions aléatoires séquentielles-alternées.}
\end{figure}

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999