Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

Conclusion générale

Les modèles de réaction-diffusion sont une source presque inépuisable de systèmes complexes. Des interactions chimiques entre fluides virtuels peuvent ainsi conduire à l'auto-organisation de milieux hétérogènes. Une population de formes prend naissance, et se développe en un processus que l'on qualifie de morphogénèse. Dans de nombreux cas, ces formes montrent un aspect si naturel que la réalité d'un mécanisme de réaction-diffusion peut être envisagée : c'est l'hypothèse de Turing. Selon les modèles, les milieux évoluent en un chaos perpétuel, ou encore convergent lentement vers un ordre parfait. Définis formellement, les mécanismes de réaction-diffusion se généralisent à des domaines bien éloignés de la chimie. Les comportements observés conservent une certaine universalité.

En raison de leur complexité, l'exploration des modèles de réaction-diffusion repose encore en grande partie sur leur simulation numérique. Des expériences sont ainsi réalisées, non pas en laboratoire, mais à l'aide d'ordinateurs, à l'intérieur de surfaces ou de volumes virtuels. A partir de conditions initiales quelconques, il reste en effet impossible de prévoir analytiquement l'état de ces systèmes à un instant donné de leur évolution. Une activité scientifique qui repose ainsi sur des simulations, bénéficie du développement continu des technologies et de l'informatique en particulier. Or le volume des calculs à entreprendre reste le principal obstacle pour une application plus répandue des modèles de réaction-diffusion. Des expériences numériques irréalisables il y a quelques années, sont rendues possibles actuellement. En conséquence, l'étude des processus de réaction-diffusion constitue un domaine de recherche dynamique, qui se renouvelle en permanence.

Notre principal objectif était d'étudier l'intérêt des modèles de réaction-diffusion pour la génération de structures aléatoires. De fait, la perturbation aléatoire de conditions initiales homogènes constitue une étape presque indispensable à l'amorçage des processus considérés. Dès lors, il s'agit bien de modèles aléatoires, qui doivent être traités comme tels.

En morphologie mathématique, la vraissemblance d'un modèle aléatoire peut être estimée à partir des images qu'il produit, quelle que soit la méthode employée pour les générer. Ces images sont usuellement comparées aux images réelles du milieu que l'on souhaite simuler. Cependant, nous sommes convaincus que la mise au point d'un modèle peut-être grandement facilitée lorsqu'elle se fonde sur la dynamique qui a conduit à la formation du milieu étudié. A défaut de connaitre avec exactitude les phénomènes qui sont en jeu, il est possible de simplifier un processus jusqu'à en conserver la seule essence. Le concept de morphogénèse constitue ainsi le premier intérêt des modèles de réaction-diffusion. A partir d'un nombre réduit de paramètres, ils permettent d'obtenir des structures aléatoires variées sur des bases physico-chimiques, et selon des règles d'évolution communes à de nombreux problèmes. Dans ce cadre, nous avons développé avec succès un nouveau modèle destiné à reproduire dynamiquement le dépôt de matière par projection plasma. Il s'agit d'une application originale d'un modèle de réaction-diffusion pour résoudre un problème réel combinant des phénomènes très différents.

Hors de tout contexte expérimental, plusieurs modèles non-linéaires de réaction-diffusion ont été étudiés afin de pouvoir réunir une assez large collection de textures, accompagnées de caractérisations morphologiques. Nous espérons que ces résultats participeront à mieux faire connaitre la réaction-diffusion, en particulier en sciences des matériaux, en biologie, ainsi qu'en informatique graphique. Des structures tridimensionnelles - inédites dans leur grande majorité - ont également été produites. Parmi les travaux dont ce document peut difficilement rendre compte, la réalisation de séquences vidéo s'est révélée comme un outil des plus précieux pour comprendre l'évolution des modèles.

Un domaine aussi vaste que la réaction-diffusion ouvre de larges perspectives; nous ne prétendons pas avoir examiné tous ses aspects. Les outils logiciels qui ont été développés pourront être davantage exploités dans le but d'analyser plus systématiquement la morphologie des modèles, par des mesures sur des séries de simulation. Lorsque nous avons entrepris d'explorer de nouveaux modèles - non pas au hasard mais en nous basant sur les modèles existants -, nous avons levé le voile sur une surprenante richesse de comportements. Bien que cette partie de nos travaux reste inachevée, la variété des textures générées ainsi que leurs morphologies naturelles indiquent qu'il existe encore de nombreux modèles à découvrir, de nombreuses simulations à réaliser. En particulier, la variation temporelle des coefficients de diffusion est applicable à tout modèle existant; son principe intuitif permet de construire aisément de nouveaux modèles. Nos premières tentatives sont plutôt restrictives en comparaison avec l'étendue des choix possibles; pour ces nouveaux modèles, des simulations tridimensionnelles doivent aussi être tentées. Par ailleurs, il serait intéressant d'étudier l'influence de conditions initiales différentes sur la morphologie des modèles. Nous avons vu qu'il existait de nombreux modèles de fonctions aléatoires, qui représentent autant de possibilités pour initialiser les systèmes de réaction-diffusion. Une telle étude a été entreprise, mais sans résultats significatifs pour l'instant.

Dans un tout autre domaine, évoquons également les améliorations possibles du modèle de dépôt plasma par Gaz sur Réseau. Il serait par exemple envisageable de transposer les méthodes introduites afin de construire un modèle similaire à trois dimensions. Cependant, les moyens de calcul actuels nous semblent encore un peu limités, compte tenu des dimensions des domaines à traiter et de la durée des simulations. Des modifications du modèle dont la mise en oeuvre serait moins coûteuse consisteraient à élargir la gamme des conditions de projection prises en compte. Des solutions pourraient être obtenues afin que des paramètres fixés dans la version actuelle du modèle deviennent modifiables.

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999