Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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1.3 Equation de la diffusion

Aussi appelée seconde loi de Fick, l'équation de la diffusion exprime en tout point $x(x_{1}, x_{2},..., x_{n})$ de ${\rm I\hspace{-0.65ex}R}^n$ la variation temporelle de la concentration $C(x,t)$ en fonction de sa variation spatiale au voisinage de ce point. Formellement, on a:

$$\frac{\partial C}{\partial t} \ =\ div(D(x)\ grad\ C(x,t))$$ (II.-2)

où $grad \ C(x,t)$ est le gradient de $C$ (de composantes $\partial C / \partial x_{k}$), et $div$ la divergence d'un vecteur ( $div\ V = \sum_{k} \partial V /\partial x_{k}$).

Le coefficient de diffusion $D(x)$ est un tenseur d'ordre deux, symétrique et défini-positif. Il peut être constant à travers l'espace ou bien régionalisé dans le cas d'une diffusion dans un milieu hétérogène.

Lorsque la diffusion est isotrope en un milieu homogène, le coefficient de diffusion est un scalaire invariant par translation et l'équation II-2 devient:

$$\frac{\partial C}{\partial t} \ =\ D\ \bigtriangleup _{x} C(x,t)$$ (II.-3)

où $\bigtriangleup _{x}$ désigne l'opérateur Laplacien spatial ( $\bigtriangleup _{x} C(x,t) = \sum_{k} \partial^2 C / \partial x_{k}^2$).

L'équation de la diffusion est une équation aux dérivées partielles de type parabolique, qui caractérise un processus irréversible: l'amortissement progressif des hétérogénéités spatiales des concentrations. Elle intervient ainsi dès que l'on s'intéresse à la diffusion en tant que processus spatio-temporel.

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.