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(II.-4) |
L'expression du membre de droite correspond à la discrétisation de
l'opérateur Laplacien. On exprime alors directement en
fonction de
:
En un procédé itératif, on définit ainsi l'évolution élémentaire et simultanée en tout site du domaine.
Dans l'évolution de la concentration au point , on distingue
un premier terme qui correspond à sa diminution par la perte d'une partie de la matière
(
) qui se trouvait en
, alors qu'un deuxième terme représente
les apports de matière en provenance du voisinage du point
. Un équilibre
tend à s'instaurer de sorte que
lorsqu'il y a égalité
des concentrations
. La validité de cet opérateur
de diffusion a été vérifiée par l'étude de profils gaussiens résultants
de l'amortissement (et de la dispersion) progressif d'une impulsion locale.
Par ailleurs, il s'agit d'un opérateur linéaire, que l'on peut implanter
sous la forme d'une convolution spatiale par un masque centré en
et
couvrant le voisinage de
(
,
à une dimension).
Pour des raison de stabilité numérique du modèle, il est impératif que
: la dimution de la concentration au point
ne doit pas dépasser sa valeur initiale. Dans le cas contraire, des oscillations
(ou erreurs) numériques se trouvent amplifiées. En conséquence,
les coefficients de diffusion applicables varient entre 0 et
. Il s'agit de coefficients relatifs, propres au modèle;
il peuvent être exprimés en
ou
.
Par ailleurs, un phénomène de parité peut apparaître lorsque ;
dans ce cas,
dépend uniquement des concentrations voisines
et
(
est indépendant de
).
Il en résulte une décomposition du domaine en sous-domaines indépendants et
entrecroisés qui évoluent sans aucun échange d'information. Au temps
temps
pair, l'un des sous-domaines sera décrit par
avec
entier;
au temps
impair, il se trouvera en
. Ce phénomène peut être
affecté par les conditions aux limites du domaine. En cas de limites
périodiques, il y a couplage entre les sous-domaines lorsque le nombre de sites
est impair.
Ces principes restent valables dans des dimensions supérieures; le phénomène
de parité se traduit par des effets de "damiers" en 4-connexité (ou 6-connexité
en 3D). Cependant, ce problème peut à présent être contourné en intégrant
les seconds voisins dans le voisinage d'un site - soit des relations de 8-connexité (en 2D)
ou de 26-connexité (en 3D). Dans ce cas, les concentrations diffusent à travers
un domaine unique, même lorsque . On utilisera ainsi un noyau de convolution
en 2D (ou en 3D,
). En trois dimensions, si
représente
l'ensemble des translations
décrivant le voisinage
26-connexe d'un site, l'équation II-5 devient:
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(II.-6) |
lorsque la diffusion est isotrope, avec un unique coefficient de diffusion . Une variante
possible consiste à attribuer des pondérations différentes en fonction du niveau de voisinage
(6 "premiers" voisins, 12 "seconds" voisins et 8 "troisièmes" voisins).
Optimisations
Nous traiterons ici le cas de l'opérateur de diffusion en trois dimensions; les
principes restent semblables en deux dimensions.
Le noyau de convolution utilisé pour l'opérateur de diffusion ne contient que
deux pondérations différentes ( au centre, et
pour le voisinage).
Cette opération peut donc être optimisée par une méthode classique, dite de la
fenêtre glissante. On remarque en effet que
dépend en partie de
.
La convolution est réalisée en balayant l'image par un masque cubique
,
dans l'ordre des directions croissantes
.
Lorsque le masque se déplace d'un site dans la direction
, seuls
nouveaux points sont couverts
par le masque, et
points en sortent - la valeur de ces points ayant été conservée. Il en résulte
qu'il n'est pas nécessaire de parcourir
voisins en chaque site.
Par ailleurs, l'opération de convolution pourrait aussi être décomposée selon les
trois directions de l'espace, en raison de la forme gaussienne du noyau de convolution.
Cependant, il serait alors nécessaire de balayer trois
fois l'image par un masque à une dimension, orienté successivement dans les directions
,
et
.
Sur le plan pratique, il semble que
la multiplication des accès aux données ne soit pas avantageuse, en particulier
en trois dimensions, en raison du mode de gestion de la mémoire vive dans les architectures
matérielles usuelles.
Enfin, la convolution est effectuée "en place", sans recourir
à un autre domaine pour y enregistrer son résultat; il est
cependant nécessaire d'utiliser une image temporaire bidimensionnelle pour y
placer les valeurs du plan
en cours de traitement, avant qu'elles ne
soient mises à jour. Cette image est alors utilisée lorsque le plan
vient à être balayé.