Pour obtenir des modèles aléatoires de réaction-diffusion [Jeulin91],
l'approche la plus simple consiste à introduire des
concentrations aléatoires hétérogènes comme conditions initiales
. Plus précisément, on fera alors appel à
des fonctions aléatoires à
variables. En conséquence, les concentrations
doivent être étudiées comme des fonction aléatoires.
Par ailleurs, les concentrations moyennes initiales
sont fixées de manière adéquate pour un modèle donné; il pourra
s'agir de concentrations critiques propres à déclencher la génération
de textures comme nous l'avons évoqué.
Le choix le plus fréquent consiste à initialiser le système avec
un bruit blanc uniforme centré sur les concentrations souhaitées.
Alors que ce bruit s'avère indispensable pour initier la
formation de structures "dites de réaction-diffusion" telles qu'elles
sont habituellement présentées, de nombreuses références passent simplement
ce fait sous silence et évitent ainsi d'aborder l'aspect aléatoire du problème.
Or en l'absence de fluctuations initiales des concentrations, tous les
points du système évolueront de manière identique et aucune structuration
spatiale ne pourra s'organiser. Prenons un autre exemple:
un équilibre chimique instable ne pourra jamais être rompu s'il est parfaitement
vérifié en tout point d'un domaine - d'où l'intérêt de distinguer les concentrations
moyennes qui caractérisent cet équilibre, et les concentrations initiales effectives
qui s'en éloignent de part et d'autre aléatoirement en chaque point, ne serait-ce que dans
des proportions infinitésimales. De plus, le choix de conditions initiales hétérogènes
qui ne seraient cependant pas aléatoires (concentrations périodiques ou autres)
a pour conséquence de générer des cas particuliers de structures le cas
échéant. En conclusion, le bruit est indispensable à l'exploration d'un jeu
complet de solutions ou bifurcations possibles pour un modèle de réaction-diffusion.
Pour construire des modèles aléatoires de réaction-diffusion, il est également
envisageable de remplacer les coefficients de diffusion par des fonctions aléatoires,
ou encore d'introduire un terme aléatoire dans les fonctions de réaction . Ce terme
s'interprète comme une source spatio-temporelle quelconque; par exemple, il peut s'agir
d'un bruit blanc qui vient perturber le milieu de manière permanente. Dans le cas contraire,
l'évolution du système est purement déterministe, à partir de conditions initiales
aléatoires. En fonction de la taille du système, ces conditions initiales représentent
déjà un choix parmi une quasi-infinité de configurations possibles; elles peuvent donc
être suffisantes pour la génération de structures aléatoires intéressantes et variées.