Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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1.2 Fonctions aléatoires de réaction-diffusion

Pour obtenir des modèles aléatoires de réaction-diffusion [Jeulin91], l'approche la plus simple consiste à introduire des concentrations aléatoires hétérogènes comme conditions initiales $Z_{i}(x,0)$. Plus précisément, on fera alors appel à des fonctions aléatoires à $N$ variables. En conséquence, les concentrations $Z_{i}(x,t)$ doivent être étudiées comme des fonction aléatoires. Par ailleurs, les concentrations moyennes initiales $\overline{Z_{i}}(x,0)$ sont fixées de manière adéquate pour un modèle donné; il pourra s'agir de concentrations critiques propres à déclencher la génération de textures comme nous l'avons évoqué.

Le choix le plus fréquent consiste à initialiser le système avec un bruit blanc uniforme centré sur les concentrations souhaitées. Alors que ce bruit s'avère indispensable pour initier la formation de structures "dites de réaction-diffusion" telles qu'elles sont habituellement présentées, de nombreuses références passent simplement ce fait sous silence et évitent ainsi d'aborder l'aspect aléatoire du problème. Or en l'absence de fluctuations initiales des concentrations, tous les points du système évolueront de manière identique et aucune structuration spatiale ne pourra s'organiser. Prenons un autre exemple: un équilibre chimique instable ne pourra jamais être rompu s'il est parfaitement vérifié en tout point d'un domaine - d'où l'intérêt de distinguer les concentrations moyennes qui caractérisent cet équilibre, et les concentrations initiales effectives qui s'en éloignent de part et d'autre aléatoirement en chaque point, ne serait-ce que dans des proportions infinitésimales. De plus, le choix de conditions initiales hétérogènes qui ne seraient cependant pas aléatoires (concentrations périodiques ou autres) a pour conséquence de générer des cas particuliers de structures le cas échéant. En conclusion, le bruit est indispensable à l'exploration d'un jeu complet de solutions ou bifurcations possibles pour un modèle de réaction-diffusion.

Pour construire des modèles aléatoires de réaction-diffusion, il est également envisageable de remplacer les coefficients de diffusion par des fonctions aléatoires, ou encore d'introduire un terme aléatoire dans les fonctions de réaction $F_{i}$. Ce terme s'interprète comme une source spatio-temporelle quelconque; par exemple, il peut s'agir d'un bruit blanc qui vient perturber le milieu de manière permanente. Dans le cas contraire, l'évolution du système est purement déterministe, à partir de conditions initiales aléatoires. En fonction de la taille du système, ces conditions initiales représentent déjà un choix parmi une quasi-infinité de configurations possibles; elles peuvent donc être suffisantes pour la génération de structures aléatoires intéressantes et variées.

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.