Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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1.1 Définitions

Dans un milieu continu, soient $N$ espèces chimiques (ou constituants fluides). On note $i = 1,2,... N$ l'une de ces espèces; soient alors $Z_{i}(x,t) \in {\rm I\hspace{-0.65ex}R}$ sa concentration (ou densité) au temps $t$ et au point $x(x_{1}, x_{2},..., x_{n})$ de ${\rm I\hspace{-0.65ex}R}^n$, et $D_{i}(x)$ son coefficient de diffusion.

Les concentrations $Z_{i}(x,t)$ représentent les variables étudiées dans un modèle de réaction-diffusion dont l'évolution est régie par le système d'équations aux dérivées partielles suivantes, appelées équations de réaction-diffusion:

$$\frac{\partial Z_{i}(x,t)}{\partial t} \ = \ div(D_{i}(x)\ grad \ Z_{i}(x,t)) \ + \ F_{i}(x, t, Z_{1}, Z_{2}, ..., Z_{N})$$ (III.-1)

pour $i=1,2,..., N$

La loi d'évolution de toute espèce $i$ se décompose en un terme $div(D_{i}(x)\ grad \ Z_{i}(x,t))$ qui provient de l'équation de la diffusion (II-2), et un terme de réaction chimique $F_{i}(x, t, Z_{1}, Z_{2}, ..., Z_{N})$ qui représente une fonction donnée des concentrations de toutes les espèces en présence, en général non linéaire. Cette fonction peut aussi dépendre du temps ou être régionalisée en faisant intervenir la position $x$. Dans le cas concret d'un problème de cinétique chimique, $F_{i}$ est un polynome déterminé par les règles stoechiométriques usuelles. Si par exemple on considère la réaction suivante entre quatre espèces $X_{i}$ ($i=1..4$):

$$2X_{1}+X_{2} \stackrel{\ k_{1}}{\stackrel{\rightleftharpoons}{\ _{k_{2}} }} 2X_{3}+X_{4}$$ (III.-2)

les concentrations $Z_{i}$ sont solutions de l'équation de réaction-diffusion (III-1) avec

$$F_{1}(Z_{t})=F_{2}(Z_{t})=-k_{1}Z_{1}^{2}Z_{2}+k_{2}Z_{3}^{2}Z_{4}$$

et

$$F_{3}(Z_{t})=F_{4}(Z_{t})=-F_{1}(Z_{t})$$

$k_{1}$ et $k_{2}$ étant les constantes cinétiques de la réaction.

L'équation de réaction-diffusion (III-1) est une équation aux dérivées partielles parabolique non linéaire. Pour l'étudier, sur un domaine borné de ${\rm I\hspace{-0.65ex}R}^n$, il faut lui adjoindre des conditions initiales $Z_{i}(x,0)$ ainsi que des conditions aux limites. Les conditions aux limites de Dirichlet imposent une valeur constante de la concentration sur le bord du domaine. Il est également possible de définir un flux de matière aux limites. Enfin, des conditions aux limites périodiques permettent de s'affranchir des effets de bord et de simuler un espace périodique infini; de ce fait, cette dernière possibilité sera le plus souvent retenue.

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.