Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

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2.1 Définition

Intéressons-nous au cas particulier où, dans l'équation de réaction-diffusion (III-1), la fonction de réaction $F_{i}$ ne dépend que linéairement des concentrations $Z_{1}, Z_{2}, ..., Z_{N}$; supposons de plus que les coefficients de diffusion $D_{i}$ sont constants dans l'espace. On obtient ainsi le modèle linéaire de réaction-diffusion étudié dans [Jeulin91], qui est basé sur l'équation simplifiée suivante:

$$\frac{\partial Z_{i}(x,t)}{\partial t} \ = \ D_{i}\ \Delta \ Z_{i}(x,t) \ + \ \sum_{j} \ \lambda_{ij} \ Z_{j} \ + \ F_{i}(x,t)$$ (III.-3)

pour $i=1,2,..., N$, où $\Delta$ est l'opérateur laplacien ( $\Delta Z_{i} = \sum_{k} \partial^{2} Z_{i} / \partial x_{k}^{2}$) et $F_{i}(x,t)$ est un terme de source spatio-temporel.

Ce modèle linéaire peut rendre compte de réactions chimiques simples, qui impliquent uniquement des échanges reversibles entre des couples d'espèces chimiques, de la forme:

$$X_{i} \ \stackrel{\ k_{ij}}{\stackrel{\rightleftharpoons}{\ _{k_{ji}} }} \ X_{j} \ \ \ \ pour \ i\neq j$$ (III.-4)

où $k_{ij}$ et $k_{ji}$ sont les constantes cinétiques.

Les coefficients $\lambda_{ij}$ de l'équation (III-3) s'expriment directement en fonction des constantes cinétiques:

$$\begin{array}{l} \lambda_{ii} \ = \ \frac{1}{N - 1} \ \sum_{j... ...\ - \frac{1}{N - 1} \ k_{ji} \ \ \ \ pour \ i\neq j \end{array}$$ (III.-5)

Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.