Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

2.2 Recherche d'une solution exacte

Nous rappelons ici brièvement les étapes qui permettent d'établir la solution exacte de l'équation (III-3), les conditions initiales étant connues; des détails complémentaires se trouvent dans la référence [Jeulin91].

Soit $ Z$ le vecteur des concentrations, de dimension $ N$ et de composantes $ Z_{i}(x,t)$; on note $ Z_{0}$ les conditions initiales pour $ t = 0$. Soit aussi $ \Lambda$ la matrice $ N \times N$ des coefficients de réaction $ \lambda_{ij}$, et $ D$ le vecteur des coefficients de diffusion $ D_{i}$. L'équation III-3 peut alors s'écrire sous forme matricielle:

$\displaystyle \frac{\partial Z_{t}}{\partial t} \ - \ D \ \Delta Z_{t} \ - \ \Lambda Z_{t} \ = \ L \ Z_{t} = F_{t}$ (III.-6)

$ L$ est un opérateur linéaire

Cette équation admet une solution sous la forme d'une somme de deux produits de convolution par un noyau de Green spatio-temporel $ G$ associé à l'opérateur $ L$ :

$\displaystyle Z_{t} \ = \ G *_{(x)} Z_{0} \ + \ G *_{(x,t)} F_{t}$ (III.-7)

où les symboles $ *_{(x)\text{ }}$ et $ *_{(x,t)\text{ }}$ désignent respectivement les produits de convolution par rapport à la variable $ x$ seule, et par rapport au couple $ x, t$.

Lorsque $ Z_{0}$ et $ F_{t}$ sont des fonctions aléatoires, $ Z_{t}$ est obtenu par une intégrale stochastique. Le noyau de Green $ G$ peut être établi par transformée de Fourier.

Supposons que la matrice $ \Lambda$ soit diagonalisable. Dans ce cas, on effectue un changement linéaire de variable $ Y_{t} \ = \ A \ Z_{t}$ tel que $ A \ \Lambda \ A^{-1}$ est une matrice diagonale. L'équation (III-6) s'écrit alors:

$\displaystyle \dfrac{\partial Y_{t}(x)}{\partial t} \ = \ D \Delta Y_{t} \ + \ B Y_{t} \ + \ E_{t}$ (III.-8)

avec $ E_{t}\ = \ A \ F_{t}$

$ D$ et $ B$ étant diagonales, chaque composante $ Y_{jt}$ de $ Y_{t}$ est solution d'une équation aux dérivées partielles dépendant d'une seule variable:

$\displaystyle \dfrac{\partial Y_{jt}(x)}{\partial t} \ = \ D_{j} \Delta Y_{jt} \ + \ b_{j} Y_{jt} \ + \ E_{jt}$ (III.-9)

Finalement, la solution de l'équation (III-9) dans $ R^{n}$ est donnée par

$\displaystyle Y_{jt} \ = \ p_{t}\exp \left( b_{j}t\right) *Y_{0j} \ + \ \int_{0}^{t}p_{t-u}\exp \left( b_{j}(t-u)\right) *E_{ju}\;du$ (III.-10)

$ p_{t}$ est le noyau gaussien

$\displaystyle p_{t} \ = \ \dfrac{1}{(4\pi D t)^{\frac{n}{2}}}\exp \left( -\dfrac{\left\vert x\right\vert ^{2}}{4Dt}\right)$    pour $\displaystyle t>0$ (III.-11)

et $ \left\vert x\right\vert ^{2} \ = \ \sum_{k = 1}^{k = n} x_{k }^{2}$.

On en déduit $ Z_{t}\ =\ A^{-1} \ Y_{t}$.
Connaissant cette solution exacte, on peut alors déterminer - par exemple - l'expression théorique de la covariance de ce modèle [Jeulin91].



Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999