Modèles de Structures Aléatoires de Type Réaction-Diffusion - Thèse de Morphologie Mathématique - Luc Decker, Ecole des Mines de Paris (1999)

4.4 Instabilité de Turing

4.4.1 Nature du phénomène

Dans l'introduction à cette partie, les structures de Turing [Turing52] ont déjà été mentionnées, tant elles représentent le meilleur exemple d'application de la réaction-diffusion à la simulation de textures réalistes. L'instabilité de Turing à leur origine détermine une large classe de modèles, qui est - de très loin - la plus étudiée. Il apparaît que ces modèles ont au moins deux caractéristiques communes: d'une part, un mécanisme réactionnel à deux espèces conduisant à une dynamique non-linéaire; et d'autre part, le fait que le processus de diffusion n'ait pas la même intensité pour les deux espèces. Lorsque leur coefficients de diffusion sont suffisamment différents, les réactions chimiques produisent alors des hétérogénéités de concentrations stationnaires. Les motifs ainsi obtenus présentent en général une grande régularité dans leur organisation spatiale macroscopique; leur pseudo-périodicité dans l'espace les caractérise - du moins à une dimension.

Plus précisément, l'une des espèces joue le rôle d' activateur chimique avec un coefficient de diffusion $ D_{1}$, tandis que la seconde espèce se comporte comme un inhibiteur de coefficient de diffusion $ D_{2} > D_{1}$. L'inhibiteur et l'activateur sont produits simultanément, par auto-catalyse. Par son action chimique, l'inhibiteur s'oppose à l'activateur; or celui-ci diffuse plus lentement que l'inhibiteur. Dans son extension spatiale, il va donc rencontrer des zones déjà atteintes par l'inhibiteur, où ce dernier est majoritaire. Finalement, il ne pourra franchir de tels obstacles et restera "confiné" à l'intérieur de régions totalement entourées d'inhibiteur. Après une phase initiale de formation de ces structures, l'évolution du système est alors presque arrêtée (il se produit un blocage). Les régions de l'espace où l'activateur est majoritaire prennent la forme de motifs réguliers, qui sont considérés comme quasi-stables.

En fonction du modèle, mais aussi des valeurs de ses paramètres et des concentrations initiales, les structures (ou motifs) de Turing présentent des géométries variées tels que des rayures plus ou moins sinueuses ou discontinues (lignes brisées), des mosaïques ou pavages de grains arrondis, etc... Chaque type de structure correspond à un domaine de paramètres. A la frontière entre deux domaines, deux types de structures coexistent et entrent en compétition. Bien que les différences entre modèles soient peu importantes, nous présenterons des structures de Turing produites par trois modèles différents. L'un de ces modèles serait peut-être à même de remplacer les deux autres, en générant des motifs identiques. Cependant, il semble que chacun de ces modèles tende préférentiellement à produire un motif distinct, pour des domaines de paramètres étendus.

4.4.2 Modèle symétrique de Walgraef

Comme premier exemple, découvrons des simulations d'un modèle déjà étudié par Walgraef [Walgraef88]. Nous l'appelerons "modèle symétrique" parce que les fonctions de réaction sont exactement opposées pour les deux espèces, soit $ F_{2}(x, t, Z_{1}, Z_{2}) = - F_{1}(x, t, Z_{1}, Z_{2})$. Ce système fait appel à deux paramètres $ \alpha$ et $ \beta $; il est contrôlé par les équations de réaction-diffusion suivantes:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial Z_{1}}{\partial t} \ = ...
...{2}) \ = \ \beta \ Z_{2} \ {Z_{1}}^{2} \ - \ \alpha \ Z_{1} \end{array} \right.$ (III.-22)

En deux dimensions, la Figure III-17 montre l'évolution d'une réalisation de ce modèle (a), ainsi que trois autres réalisations prises à une étape donnée de leur évolution (b), afin de souligner que les motifs produits ont une forte ressemblance entre réalisations différentes. Ces structures de Turing sont ainsi bien reconnaissables dans leur aspect: une alternance de deux phases fortement imbriquées, de manière quasi-duale; des contours que la diffusion arrondit. Dans notre contexte, chacune des phases correspond à des régions où l'une des deux espèces existe presque à l'état pur. Pour ces simulations, le rapport des coefficients de diffusion de l'inhibiteur par rapport à l'activateur est volontairement peu important ( $ D_{2} / D_{1} = 3$). En conséquence, les structures continuent d'évoluer après leur période de formation (pour $ t \leq 1200$). Il se produit un changement d'échelle très lent, qui est semblable à celui qui a été constaté dans le cas du modèle de Schlögl. Pour un rapport des coefficients de diffusion plus élevé, la mobilité des structures est beaucoup plus faible et empêche donc presque totalement la fusion de régions à l'origine de leur augmentation de taille.

La morphologie des structures de Turing peut être aisément transformée en introduisant une dérive dans le processus de diffusion. Dans le cas présent, une convolution de l'image des concentrations par un noyau directionnel permet de réaliser cette dérive. Des structures plus ou moins anisotropes sont alors générées, comme sur les deux exemples de la Figure III-18b; il est possible de fixer précisément le degré d'anisotropie souhaité. Dans une telle situation, les structures se développent perpendiculairement à la direction de la dérive. Cette modification du modèle usuel de réaction-diffusion peut s'avèrer très utile lorsque l'on souhaite reproduire des textures réelles, qui sont rarement isotropes. Les phénomènes de croissance directionnelle ou encore d'étirement sont à l'origine de textures anisotropes. C'est par exemple le cas du bois ou de l'écorce d'un arbre; des matériaux anisotropes se rencontrent aussi fréquemment.

Figure: Génèse et évolution de structures de Turing 2D (modèle de Walgraef). Représentation en niveaux de gris de la concentration $ Z_{1}(x,t)$. Domaines $ 500 \times 500$. $ Z_{1}(x, t=0) \approx 1.0$, $ Z_{2}(x, t=0) \approx 1.0$. Paramètres: $ \alpha = 1.0$, $ \beta = 1.0$, $ D_{2} / D_{1} = 3$, $ K_{r} = 0.04$.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{ccc}
\fbox{\epsfxsize=4.5cm \epsfbox...
...size b) Autres exemples de réalisations, $t = 20000$}
\end{tabular}}\end{figure}

Figure: Structures de Turing 2D (modèle de Walgraef). Complément à la Figure III-17.
Figure: Percolation au travers de structures de Turing 2D en cours de formation (modèle de Walgraef), et considérées comme un milieu poreux après seuillage $ Z_{1}(x,t) > 1.1$. En bleu: obstacles solides; en rouge: faisceau des plus courts chemins de traversée du bord gauche au bord droit; en vert: porosités imperméables; teinte de gris: proportionnelle (du noir au blanc) à la tortuosité en tout autre point appartenant aux pores traversés. Autres paramètres: voir Figure III-17
Figure: Structures de Turing tri-dimensionnelles (modèle de Walgraef). Binarisation: $ Z_{1}(x,t) > 1.80$. Domaine $ 200^{3}$ voxels. $ K_{r} = 0.10$. Autres paramètres: voir Figure III-17.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{ccc}
\fbox{\epsfxsize=4.5cm \epsfbox...
... b) Structures anisotropes: diffusion avec dérive}\\
\end{tabular}}\end{figure}

De nombreuses mesures ont été effectuées sur une série de 30 simulations bidimensionnelles (semblables à celle de la Figure III-17). La Figure III-21a montre ainsi la cinétique du système. De manière générale, l'évolution globale des concentrations ne peut fournir aucune information quant au développement d'hétérogénéités. Cependant, il est intéressant de représenter les concentrations minimales et maximales rencontrées dans le champ de simulation de $ 500 \times 500$ points qui a été utilisé. La croissance de leur écart par rapport à la concentration moyenne (qui évolue peu) correspond à la période de formation des structures; par contre, cet indicateur ne peut rendre compte de leur organisation spatiale.

Sur la Figure III-21b apparait l'évolution des limites du nuage de corrélation $ (Z_{1}, Z_{2})$. Ce type de diagrammme s'obtient aisément en représentant par un point tous les couples de concentrations $ (Z_{1}(x,t), Z_{2}(x,t))$ observés dans le système à un instant donné; un nuage de points est alors obtenu. On trace ensuite son enveloppe, qui détermine une région à l'intérieur de laquelle toutes les combinaisons $ (Z_{1}, Z_{2})$ sont possibles d'un point de vue expérimental, pour un domaine de dimensions fixées. Il s'agit en quelque sorte des contraintes que le modèle de réaction-diffusion impose au système. Finalement, on analyse l'évolution de ce nuage de corrélation: un élargissement concentrique peut être constaté, alors que celui-ci prend une forme ellipsoïdale.
[] []

Figure: Evolution des concentrations pour le modèle symétrique de Walgraef. Phase initiale correspondant à la génèse de structures de Turing dans un domaine $ 500 \times 500$. Mesures moyennes sur 30 simulations. Paramètres: voir Figure III-17.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\epsfxsize=5cm \epsfbox{tu...
... $\overline{Z_{1}}$\ et $max(Z_{1})$& \scriptsize \\
\end{tabular}}\end{figure}

Les profils de concentrations rendent peut-être mieux compte de leur variations spatiales que les images déjà présentées. Sur la Figure III-22a, l'opposition entre les concentrations de l'activateur $ (Z_{1})$ et de l'inhibiteur $ (Z_{2})$ s'observe nettement. Les interfaces entre régions où chaque espèce est ultra-majoritaire, sont de faible épaisseur, et les gradients de concentrations sont très importants. Ce fait renforce l'idée que le seuillage des structures ne fait perdre que peu d'information. Le changement d'échelle des structures peut aussi être constaté sur un profil de concentrations (voir Figure III-22b). Les fluctuations de concentration s'espacent progressivement, soit en disparaissant dans le cas de pics étroits, soit en se réunissant en un seul bloc dans le cas de pics rapprochés. L'analogie avec un filtrage morphologique (de type ouverture-fermeture) n'est pas sans fondement.

Figure: Structures de Turing : profils de concentrations mesurés sur une réalisation. Paramètres: voir Figure III-17.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\epsfxsize=5cm \epsfbox{tu...
...uations peu importantes de $Z_{1}$\ sont comblées.\\
\end{tabular}}\end{figure}

Afin de caractériser la morphologie des structures de Turing, leur auto-covariance a aussi été mesurée; on pourra la comparer à celle qui a été obtenue pour le modèle de Schlögl. Sur la Figure III-23a, deux points doivent être soulignés: d'une part, un effet de "trou" dans la courbe de covariance (valeurs négatives) traduit une répulsion entre structures, soit une alternance de phase. On confirme ainsi qu'une région où la concentration de l'activateur est élevée, est obligatoirement entourée d'une région où celle-ci est faible. Cette caractéristique confère des propriétés particulières aux structures de Turing. On ne vérifie cependant pas une complète périodicité des structures; dans ce cas, la covariance oscillerait avec une période égale à leur espacement. Le phénomène de répulsion caractérise bien les structures de Turing, par rapport à d'autres modèles; son apparition se produit dès la génèse des structures: on comparera les courbes pour $ t = 200$, $ t = 300$ et $ t = 500$ (dans ce dernier cas, la répulsion a presque atteint son maximum). D'autre part, on constate également une augmentation de l'échelle des structures (comparer les courbes pour $ t = 500$ et $ t = 20000$), comme pour le modèle de Schlögl.

Figure: Structures de Turing (modèle de Walgraef) : mesures de covariances des concentrations, moyennes sur 30 réalisations. Valeurs centrées et normalisées. Paramètres: voir Figure III-17.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\epsfxsize=5cm \epsfbox{tu...
...ne anti-corrélation entre activateur et inhibiteur\\
\end{tabular}}\end{figure}

La covariance croisée entre les concentrations des deux espèces est donnée par

$\displaystyle C(Z_{1},Z_{2}) \ = \ E(Z_{1}(x,t) Z_{2}(x,t)) \ - \ E(Z_{1}(x,t)) E(Z_{2}(x,t))$ (III.-23)

Cette mesure présentée sur la Figure III-23b permet d'analyser l'opposition croissante entre les deux espèces. La période de formation des structures se traduit en effet par une brusque diminution de $ C(Z_{1},Z_{2})$, qui devient négative : les concentrations des deux espèces voient leur anti-corrélation augmenter. Cette tendance se poursuit ensuite beaucoup plus lentement (pour $ t > 1000$).

Comme pour le modèle précédent, nous avons aussi mesuré l'évolution du nombre de composantes connexes et du nombre d'Euler-Poincaré après seuillage (Figure III-24). En deux dimensions, on constate une inter-connection assez importante des structures, puisque - en moyenne - on décompte au plus $ 14$ composantes dans un domaine $ 500 \times 500$ (pour des paramètres donnés). Ce nombre évolue ensuite très lentement, comme toutes les grandeurs mesurées durant la période qui suit la formation initiale des structures. Une carte des composantes connexes est par ailleurs présentée sur la Figure III-18a, une couleur différente étant attribuée à chaque composante après son identification. Pour cette réalisation, on constate que l'une des composantes (en vert clair) couvre plus de la moitié des structures en surface. Un tel phénomène se reproduit souvent pour d'autres réalisations. L'imbrication initiale des deux phases conduit à un nombre de "trous" très important, d'où une valeur négative du nombre d'Euler-Poincaré; ces derniers disparaissent ensuite et le nombre d'Euler-Poincaré tend de plus en plus lentement vers zéro.

Les modèles de réaction-diffusion peuvent aussi être mis en oeuvre afin d'obtenir des milieux poreux aléatoires. Une réalisation tri-dimensionnelle de ce modèle est ainsi présentée sur la Figure III-20a, après seuillage (et lissage) des structures. Nous avons constaté que la morphologie de ces structures de Turing est comparable à deux et trois dimensions. Cependant, toutes les réalisations qui ont été produites vérifient une propriété tout à fait remarquable: après binarisation, les deux phases sont totalement interconnectées, ce qui ne s'observe jamais à deux dimensions. On détecte ainsi une seule composante connexe aussi bien pour la partie "solide" que pour son complémentaire (le vide), compte tenu des conditions aux limites périodiques. Comme en deux dimensions, nous avons par ailleurs produit des structures anisotropes (voir Figure III-20b). L'imbrication des structures est réduite lorsqu'elles s'organisent préférentiellement dans une direction de l'espace.

Figure: Structures de Turing (modèle de Walgraef) : mesures topologiques sur l'ensemble obtenu par seuillage $ Z_{1} > 0.8$. Moyennes sur 30 réalisations, valeurs relatives à un domaine $ 500 \times 500$ avec limites périodiques. Paramètres: voir Figure III-17.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\epsfxsize=5cm \epsfbox{tu...
...criptsize b) Evolution du nombre d'Euler-Poincaré.\\
\end{tabular}}\end{figure}

En présence de morphologies aussi complexes, il nous a semblé intéressant d'effectuer des propagations géodésiques (voir par exemple [Tovena98,Decker98a]) à travers le milieu poreux virtuel constitué par les structures de Turing après leur binarisation. Considérons qu'un fluide circule exclusivement dans les pores du milieu, alors que son bord gauche constitue la face (ou arête) d'entrée, et son bord droit, la face de sortie. Un test de percolation consiste à chercher l'existence d'au moins un passage (ou chemin géodésique) entre les deux faces, à travers les pores uniquement. Le cas échéant, on détecte alors l'ensemble des pores qui percolent (ou pores "ouverts") : ils sont aussi bien accessibles par un chemin issu de la face d'entrée que de la face de sortie. Les pores restants sont dits "non-traversés" ou encore "fermés". On détermine également la tortuosité en tout point du milieu qui fait partie d'un pore ouvert :

Définition: La tortuosité locale en un point $ x$ correspond à la longueur du plus court chemin géodésique qui passe par $ x$ en reliant la face d'entrée à la face de sortie à travers les pores, divisée par la distance euclidienne $ L_{es}$ entre les deux faces.

En conséquence, la tortuosité locale est égale à $ 1$ en tout point d'un chemin direct (en ligne droite) entre les deux faces. De plus, il est possible de déterminer la distribution des tortuosités pour toute la porosité ouverte; cette mesure constitue une caractérisation morphologique des structures étudiées. La valeur minimale de la tortuosité est attribuée à tous les points qui se trouvent sur le plus court chemin géodésique entre les deux faces. Au contraire, la tortuosité est la plus élevée aux points (isolés, en général) qui sont les plus éloignés des deux faces, tout en restant accessibles.

Comme la recherche de composantes connexes, la mesure de la tortuosité repose sur des algorithmes élémentaires issus de la théorie des graphes (la trame de l'image constituant un graphe régulier). La recherche d'un plus court chemin entre deux points (ou sommets) est effectuée au moyen d'une file d'attente de points de passage intermédiaires. Cette file d'attente donne la garantie que les points en attente dans la file sont rangés dans l'ordre des distances croissantes par rapport au point de départ : un parcours "en largeur" du graphe est effectué. Il est ainsi immédiat d'introduire un ensemble de points de départ dans la file - en l'occurrence, tous les points du bord gauche du milieu. Pour chaque point extrait de la file, ses voisins appartenant aux pores y sont insérés (en queue). Dans le cas d'une image, cet algorithme réalise des propagations selon une trame donnée; dans son implantation actuelle, il n'utilise donc pas de distances euclidiennes. En trame carrée, il présente l'un des deux inconvénients suivants : si l'on se déplace en 4-connexité (à deux dimensions), les déplacements prennent l'aspect de "marches d'escalier" peu naturelles; en 8-connexité, les directions de déplacement sont plus nombreuses, mais les déplacements "en diagonale" comptent pour une distance unitaire aussi bien que les déplacements selon les directions principales. Nous avons retenu cette seconde possibilité; en trame cubique, les déplacements sont effectués en 26-connexité. La tortuosité est calculée en deux étapes [Demarty96] : une première propagation permet de calculer les plus courts chemins (distances $ d_{e}(x)$) de la face d'entrée à tout point (accessible) du milieu. Une seconde propagation fournit la même information à partir de la face de sortie (distances $ d_{s}(x)$). La combinaison des deux valeurs permet de connaître quels sont les pores qui percolent, et leur tortuosité éventuelle soit $ (d_{e}(x) + d_{s}(x))/ L_{es}$.

Un exemple de percolation au travers de structures de Turing est présenté sur la Figure III-19. La mesure est effectuée alors que les structures se développent, et rendent ainsi de plus en plus difficile le passage d'un bord à l'autre. Pour cette réalisation, il n'y a ainsi plus percolation pour $ t > 2900$, un rétrécissement critique se refermant complètement. L'algorithme appliqué permet de détecter automatiquement les passages les plus courts entre les deux faces (représentés en rouge), c'est à dire la solution du labyrinthe. Pour les structures étudiées, il devient difficile de trouver visuellement cette solution (du moins, en peu de temps), compte tenu de leur tortuosité importante. Il s'agit aussi d'une caractéristique commune à la majorité des structures de Turing, et à notre connaissance de telles mesures n'ont jamais été effectuée pour ces modèles.

Les histogrammes des tortuosités locales correspondants aux propagations géodésiques sont donnés sur la Figure III-25a : il se confirme que la tortuosité augmente durant la formation des structures. Sur 30 réalisations cependant, environ la moitié d'entre-elles cessent ainsi de percoler après un certain temps, assez court en général; dans l'intervalle, leur tortuosité augmente. Pour toutes les autres réalisations, la tortuosité baisse à long terme alors que la complexité des structures diminue en relation avec l'augmentation de leur taille. En trois dimensions, la situation est très différente puisque les pores sont entièrement interconnectés. Il a ainsi été observé que toutes les réalisations obtenues percolent. En conséquence, la tortuosité des structures diminue à long terme (avec leur changement d'échelle), comme le montre la Figure III-25b; un resserrement de la distribution des tortuosités locales apparait nettement.

Figure: Structures de Turing (modèle de Walgraef) : histogrammes des tortuosités locales.
\begin{figure}
% latex2html id marker 4526\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fb...
...éalisation 3D similaire à la Figure \ref{FDTU3D}a.\\
\end{tabular}}\end{figure}

Enfin, la méthode des marcheurs aléatoires décrite au chapitre II-2.2 a été appliquée afin d'estimer la diffusion au travers d'un milieu poreux représenté par une structure de Turing tri-dimensionnelle après binarisation. Les variogrammes moyens des trajectoires d'un grand nombre de marcheurs aléatoires sont présentés sur la Figure III-26a, à quatre étapes différentes de l'évolution d'une réalisation. Si l'on suppose que la loi de Fick est vérifiée dans un tel milieu, le coefficient de diffusion d'un milieu homogène équivalent montre une faible augmentation au cours du temps, en passant de $ 0.228$ pour $ t = 1000$ à $ 0.250$ pour $ t = 20000$; ces valeurs sont obtenues par approximations linéaires des variogrammes. Comme précédemment, il s'agit de grandeurs relatives: on a fixé à zéro le coefficient de diffusion dans la matrice, et à $ 0.40$ le coefficient de diffusion dans les pores (pour un milieu sans obstacles). Par ailleurs, les coefficients de diffusion sont presque égaux dans les trois directions de mesures ($ x, y, z$) : l'isotropie des structures est ainsi confirmée (par hypothèse, il n'y a aucune raison pour qu'une quelconque anisotropie apparaisse). L'intérêt de ce type d'estimation est plutôt réduit puisque les coefficients de diffusion varient peu, compte tenu des changements assez importants de morphologies durant l'intervalle de mesure. De fait, on considère des structures fortement poreuses : la porosité atteint $ 50\%$ dans le cas présent, et dont les pores sont entièrement interconnectés : les obstacles à la diffusion sont peu importants. Dans le cas d'une estimation de la diffusion par un variogramme non linéaire selon une loi de type $ D \ t^{\delta}$ (où la variable $ t$ est liée aux marcheurs aléatoires, non au milieu étudié à un instant donné), le coefficient de diffusion $ D$ augmente davantage au cours de l'évolution des structures (Figure III-26b), tandis que l'exposant $ \delta$ diminue en restant proche de $ 1.0$. La diffusion à travers le milieu poreux considéré tend ainsi à vérifier de moins en moins bien la loi de Fick au cours de son évolution.

Figure: Mesures de diffusion au travers de structures de Turing tri-dimensionnelles (modèle de Walgraef) considérées comme un milieu poreux (les parties solides correspondent à $ Z_{1} > 1.1$). Méthode appliquée: variogramme des trajectoires de $ 30000$ marcheurs aléatoires. Résultats pour une seule réalisation (domaine de $ 250^3$ voxels), à différents étapes de son évolution. Paramètres du modèle: $ \alpha = 1.0$, $ \beta = 1.0$, $ D_{2} / D_{1} = 3$, $ K_{r} = 0.18$.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{ccc}
\fbox{\epsfxsize=4.0cm \epsfbox...
...riogrammes par une loi de diffusion $D \ t^{\delta}$}
\end{tabular}}\end{figure}

4.4.3 Modèle du Brusselator

Le Brusselator [Prigogine68,Nicolis77] fait partie des modèles classiques étudiés en réaction-diffusion. Ses équations d'évolution ne différent que légèrement du modèle symétrique précédent :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial Z_{1}}{\partial t} \ = \...
...up Z_{2} \ \ + \ \ \beta \ Z_{1} \ - \ {Z_{1}}^2 \ Z_{2}\\  \end{array} \right.$ (III.-24)

$ \alpha$ et $ \beta $ sont deux paramètres de contrôle.

Des motifs très réguliers peuvent être obtenus à partir de ce modèle. En deux dimensions, il s'agit: d'une part de disques disposés dans l'espace selon des arrangements (ou pavages) hexagonaux; et d'autre part, de bandes ou rayures régulièrement espacées. Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des disques, que l'on observera sur les deux réalisations de la Figure III-27. Comme pour le modèle symétrique, les variations des concentrations de l'activateur ($ Z_{1}$) et de l'inhibiteur ($ Z_{2}$) sont en opposition (comparer les deux images de gauche). Cependant, les structures obtenues ne sont manifestement plus auto-duales. Après seuillage des concentrations élevées (du jaune au rouge), l'image $ Z_{1}$ serait fort semblable à un ensemble aléatoire de disques placés en tenant compte d'une distance de répulsion importante - précisément, un modèle de type hard-core (voir chapitre I-1) -, jusqu'à "saturation" du milieu.

Une étude attentive de l'image des concentrations de l'activateur ($ Z_{1}$) sur la Figure III-27 permet de constater que l'arrangement hexagonal des grains est loin d'être parfait. Il présente de nombreux défauts ou décalages: si une majorité de grains dispose de $ 6$ voisins, certains en ont $ 7$, et d'autres $ 5$ uniquement. Nous avons souhaité quantifier ces défauts, suivre leur évolution et analyser leur répartition dans l'espace.

Figure: Simulations à deux échelles du modèle du Brusselator. Différences finies 2D, domaine $ 600 \times 600$, $ t = 50000$ itérations. $ Z_{1}(x, t=0) \approx 2.0$, $ Z_{2}(x, t=0) \approx 2.0$. Paramètres: $ \alpha = 2.0$, $ \beta = 4.6$, $ D_{2} / D_{1} = 4.5$. Concentrations représentées en fausses couleurs.
Figure: Localisation des défauts de connexité des pavages hexagonaux produits par le Brusselator. Domaine $ 600 \times 600$. Paramètres: $ \alpha = 2.0$, $ \beta = 4.5$, $ D_{2} / D_{1} = 4.0$, $ K_{r} = 0.01$. Cartes de connexité: chaque région est colorée en fonction de son nombre de voisins: vert=4, bleu=5, blanc=6, rouge=7.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{ccc}
\fbox{\epsfxsize=4.5cm \epsfbox...
...0 000$\ itérations pour 2 simulations différentes}\\
\end{tabular}}\end{figure}

La première étape consiste à segmenter l'image des concentrations, afin de localiser avec exactitude les frontières entre les grains. Il est alors possible de les identifier, en leur attribuant des labels (ou numéros) distincts. Dans ce but, nous avons fait appel à l'algorithme de la ligne de partage des eaux (LPE) [Meyer90b,Meyer92], déjà appliqué pour déterminer les frontières entre polyèdres de Voronoï (chapitre I-2.2). Pour rappel, l'image à segmenter est considérée comme un relief formé de bassins versants isolés, que l'on souhaite délimiter. Dans sa version initiale, ce traitement associe un bassin (une région) à tout minima local de l'image. Il est souvent préférable de définir à l'avance les positions approximatives des bassins au moyen de marqueurs. En fonction du relief, l'algorithme permet alors de déterminer la position précise des frontières entre bassins, soient les lignes de partage des eaux. Dans le cas présent, l'image $ Z_{1}$ est inversée afin que le centre de chaque grain corresponde à un minimum local. De plus, pour obtenir un marqueur unique par grain, cette image est seuillée à un niveau très bas : on obtient alors une image binaire des centres des grains. L'utilisation de ces marqueurs permet de contourner le problème posé par l'existence de plusieurs minima locaux au centre de certains grains. Finalement, les grains sont segmentés, comme sur la partie gauche de la Figure III-28a où les frontières ont été superposées (en noir) à l'image de la concentration $ Z_{1}$.

La mesure de la connexité des grains constitue la seconde étape. Pour toute région, il s'agit simplement de compter le nombre de régions voisines en parcourant sa frontière. Par convention, deux régions seront voisines si leur frontière commune comporte plus de $ m$ pixels (nous avons choisi $ m = 5$). Il en résulte qu'une carte des connexités peut être établie, en attribuant une couleur à chaque région en fonction de son nombre de voisins. La carte correspondant à l'image segmentée est présentée sur la partie droite de la Figure III-28a. Après seulement $ 5000$ itérations, le nombre d'hexagones (en blanc) est encore assez faible ($ 50\%$). Les grains se déplacent très lentement, mais ils tendent à construire un réseau hexagonal parfait; dans ce contexte, toutes les régions non-hexagonales seront considérées comme des défauts. Sur la Figure III-28b, nous étudions les cartes de connexité obtenues après $ 100000$ itérations pour deux réalisations différentes, à partir de paramètres identiques. D'une part, les régions se sont transformées en hexagones dans leur très grande majorité (plus de $ 85\%$). D'autre part, il est surprenant de constater que les défauts résiduels forment des lignes discontinues, qui divisent grossièrement le milieu en zones homogènes étendues qui sont exemptes de défauts. Ces lignes semblent ainsi jouer le rôle de joints de grains macroscopiques - où chaque grain macroscopique correspond à un ensemble connexe d'hexagones.De plus, les lignes de défauts sont constituées d'une alternance de pentagones (connexité 5) et d'heptagones (connexité 7). Dans un tout autre contexte, un mode d'organisation très similaire a été observé au cours de simulations de structures cellulaires produites par solidification directionnelle [Kassner98]. Par ailleurs, on observera aussi quelques plans de glissement constitués essentiellement de regroupements de pentagones (en bleu); ces derniers présentent un alignement de frontières. Alors que la plupart des grains microscopiques se bloquent mutuellement (c'est en particulier le cas des hexagones), de telles lignes droites doivent favoriser leur déplacement, ou même le glissement entier d'une zone par rapport à une autre. Les distributions moyennes des connexités des grains ont été estimées sur $ 20$ réalisations, après $ 5000$ et $ 100000$ itérations. Sur la Figure III-29, on pourra ainsi vérifier l'augmentation du nombre de régions 6-connexes au détriment des autres connexités.

Figure: Modèle du Brusselator: distributions des connexités des grains obtenues suite à leur segmentation. Moyennes sur $ 20$ réalisations, comparaison des résultats à $ t = 5000$ et $ t = 100000$ itérations. Paramètres: voir Figure III-28
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\centerline {\begin{tabular}{c}
\fbox{\epsfxsize=5cm \epsfbox{br08-WNA.eps}}\\
\end{tabular}}\end{figure}

Pour ces $ 20$ réalisations, d'autres mesures plus habituelles ont été effectuées. Sur la Figure III-30a, l' histogramme des concentrations de l'activateur est de type gaussien vers le début des simulations ($ t = 1000$). Il change ensuite complètement d'aspect avec le développement des structures. Comme pour le modèle précédent, on observera aussi la croissance de l'écart entre les concentrations minimale, maximale et moyenne sur la Figure III-30b; elle s'accompagne de l'amortissement d'une oscillation initiale. Le nombre de composantes connexes obtenues après seuillage des grains est bien sûr très élevé pour ce type de structures (Figure III-31a). Son augmentation est due à la division de certains grains "doubles", qui sont ainsi éliminés en raison de leur taille trop importante pour leur permettre d'entrer dans l'assemblage "parfait" que le système construit progressivement. Enfin, l'auto-covariance du modèle se présente sous la forme d'une sinusoïde dont l'amplitude diminue exponentiellement (Figure III-31b). Un tel comportement traduit la pseudo-périodicité des structures générées par le Brusselator; on observe son renforcement au cours du temps (comparer les courbes pour $ t = 1000$ et $ t = 10000$ itérations).

Figure: Evolution des concentrations pour le modèle du Brusselator. Mesures moyennes sur 20 réalisations. Paramètres identiques à la simulation de la Figure III-28.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\epsfxsize=5cm \epsfbox{br...
... et maximale au cours de la génèse des structures.\\
\end{tabular}}\end{figure}

Figure: Modèle du Brusselator: mesures morphologiques, moyennes sur 20 réalisations. Paramètres identiques à la simulation de la Figure III-28.
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\epsfxsize=5cm \epsfbox{br...
...roissement de la pseudo-périodicité des structures\\
\end{tabular}}\end{figure}


Il a été mentionné que le Brusselator peut également être à l'origine d'autres structures qui prennent la forme de rayures. Le paramètre de contrôle $ \beta $ participe notamment à la sélection du type de structures générées. Pour connaître l'influence d'un paramètre quelconque $ P$ sur la morphologie d'un modèle, il est possible de réaliser des séries de simulations, avec par exemple un accroissement régulier de la valeur de $ P$. Une solution plus ingénieuse consiste à régionaliser ce paramètre dans un même domaine de simulation; les travaux de Borckmans et al. comptent parmi les premiers à la mettre en oeuvre [Borckmans92]. Pour le paramètre étudié, une rampe linéaire (ou gradient) est ainsi établie selon l'une des directions principales (x ou y), soit par exemple $ P(x) = P_{o} + a\ x$. Au cours de la simulation, les structures se développent alors différemment selon leur position $ x$ dans le domaine: une unique simulation permet d'explorer un large spectre de valeurs. Mais plus encore, l'intérêt d'une telle approche réside dans la continuité des structures obtenues. Les zones de transition entre deux morphologies bien distinctes présentent souvent le maximum d'interêt; on observe parfois l'existence éphémère d'une troisième morphologie à la frontière des deux autres. Le manque de sensibilité constitue le principal inconvénient pour cette méthode: si le gradient du paramètre $ P$ est trop fort, certains comportements (ou modes) intermédiaires ne seront pas observables. Une contamination des morphologies a aussi été constatée : certaines structures se propagent dans la direction du gradient - en particulier lorsqu'il est trop faible. Les régions où ces structures se retrouvent correspondent alors à des valeurs de $ P$ pour lesquelles elles ne seraient pas apparues dans une simulation classique (avec une valeur unique de $ P$ pour tout le domaine).

Nous avons appliqué la méthode de la rampe linéaire au paramètre $ \beta $. La Figure III-32 en présente les résultats: pour $ \beta > 5$, la partie droite du domaine est constituée d'un assemblage hexagonal de disques, tel que nous l'avons déjà étudié. La partie restante du domaine a permis l'établissement de structures totalement différentes: des bandes (ou rayures) à l'espacement régulier. Des ensembles de disques peu apparents sont observables épisodiquement au niveau des zones de dislocations (ou de raccords) des bandes. A l'intérieur de ces deux régions distinctes, la morphologie des structures est sensiblement homogène. Dans la partie la plus à gauche du domaine, les bandes montrent cependant une plus grande continuité, ainsi que des courbures plus harmonieuses. Du coté droit, les disques sont plus contrastés et leur limites plus précises pour des valeurs supérieures de $ \beta $. Enfin, à la frontière entre les deux types de morphologies, des sous-domaines homogènes - formés de bandes ou de disques - s'organisent à une échelle plus grande : des structures aléatoires hiérarchiques (à deux échelles) sont ainsi obtenues. Cette frontière imprécise correspond à une valeur critique de $ \beta $, les autres paramètres du modèle ($ \alpha$ et $ D_{2} / D_{1}$) étant fixés.

Figure: Coexistence de deux types de structures dans une simulation 2D du Brusselator avec rampe linéaire du paramètre $ \beta $ dans la direction horizontale $ x_{1}$ ($ x_{1}$ = 0 sur le bord gauche). Domaine $ 1600 \times 500$, $ t = 100000$ itérations. $ Z_{1}(x, t=0) \approx 2.0$, $ Z_{2}(x, t=0) \approx 2.0$. Paramètres: $ \alpha = 2.0$, $ \beta (x_{1}=0)= 4.3$, $ \beta (x_{1}=1600)= 6.2$, $ D_{2} / D_{1} = 3.0$, $ K_{r} = 0.02$
Figure: Simulations 3D par différences finies du modèle du Brusselator. $ t = 50000$ itérations. Domaine $ 200^{3}$ voxels. $ Z_{1}(x, t=0) \approx 4.5$, $ Z_{2}(x, t=0) \approx 1.5$.
Figure: Modèle du Brusselator : tracés spatio-temporels de profils de la concentration $ Z_{1}$. Représentations en fausses couleurs.
\begin{figure}
% latex2html id marker 4687\centerline {\fbox{\epsfxsize=9.8cm ...
... 2D avec amortissement d'une oscillation initiale}\\
\end{tabular}}\end{figure}

En dimension trois, les disques produits par le Brusselator deviennent autant de grains approximativement sphériques, comme sur la Figure III-33 (image au centre). D'autres structures plus allongées peuvent aussi être obtenues (image de droite). Dans ces deux cas, le nombre de composantes connexes reste très élevé. La tortuosité de telles structures de Turing est faible en comparaison avec le modèle précédent.

La stabilité des structures peut s'observer nettement sur les profils spatio-temporels de la Figure III-34 : les lignes horizontales y traduisent la persistence temporelle des hétérogénéités de concentations. Au contraire, les bandes verticales présentes au début du tracé (à gauche) sur la Figure III-34c correspondent à des oscillations temporelles homogènes, où tous les points du système sont en phase. Pour ce modèle, l'étape de formation des structures représente la partie la plus intéressante d'un tracé spatio-temporel (voir Figure III-34b). Dans certaines conditions, on assiste en effet à une compétition entre différents grains: une partie d'entre-eux disparaissent - du moins du profil mesuré (ils peuvent aussi s'être déplacés dans le domaine). Une série de pics de longueurs inégales sont ainsi observables sur ce tracé.

4.4.4 Modèle de Maginu


Comme dernier exemple de structures de Turing, les labyrinthes engendrés par le modèle de Maginu ont retenu notre attention. L'évolution du système est régie par les équations aux dérivées partielles suivantes [Maginu75] :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial Z_{1}}{\partial t} \ = \...
...iangleup Z_{2} \ \ + \ \ \frac{Z_{1} \ - \ k \ Z_{2}}{c}\\  \end{array} \right.$ (III.-25)


$ k$ et $ c \neq 0$ sont deux paramètres.

Au début de leur formation, les textures produites par ce modèle ressemblent quelque peu aux motifs granulaires obtenus avec le Brusselator (Figure III-35, image de gauche). Elles s'en différencient ensuite, lorsque les grains isolés fusionnent pour donner naissance à des branches qui sont connectées en un réseau très ramifié (image de droite). Après binarisation, les structures résultantes ont alors toutes les caractéristiques d'un labyrinthe aléatoire; les "chemins" qui les traversent présentent de nombreux embranchements.

Figure: Simulation 2D par différences finies du modèle de Maginu. Représentation en fausses couleurs de la concentration $ Z_{1}(x,t)$. Domaine $ 1600 \times 1200$. $ Z_{1}(x, t=0) \approx 0.0$, $ Z_{2}(x, t=0) \approx 0.0$. Paramètres: $ k = 0.9$, $ c = 0.45$, $ D_{2} / D_{1} = 6.0$, $ K_{r} = 0.007$.
Figure: Exploration des variations de morphologie des structures générées par le modèle de Maginu. Domaines $ 1500 \times 500$. Paramètres communs: $ Z_{1}(x, t=0) \approx 0.0$, $ Z_{2}(x, t=0) \approx 0.0$, $ D_{2} / D_{1} = 6.0$, $ K_{r} = 0.05$. Représentation de la concentration $ Z_{1}$ en fausses couleurs (palette "arc-en-ciel" avec suppression du canal vert afin de mettre en valeur les concentrations extrêmes).
\begin{figure}
\centerline {\begin{tabular}{cc}
\fbox{\epsfxsize=5cm \epsfbox{ma...
...= 1500) = 40.0$, $k=0.9$. $t = 20000$\ itérations.\\
\end{tabular}}\end{figure}


Afin d'explorer le rôle des paramètres $ k$ et $ c$, des simulations avec rampes linéaires ont été réalisées, comme dans le cas du Brusselator. La Figure III-36a regroupe une grande variété de comportements, tandis que la valeur de $ k$ augmente régulièrement de gauche à droite. A l'extrême gauche du domaine, une première région se distingue: elle renferme des structures aux contours flous, qui sont instables et oscillent en permanence; il ne s'agit pas de structures de Turing. Plus à droite apparaît le labyrinthe qui nous intéresse. Sa morphologie change graduellement: on observe d'abord de simples rayures quasi rectilignes ($ k = 0.45$), puis l'angle et la fréquence de leurs changements de direction augmentent; le labyrinthe devient alors de plus en plus ramifié. Peu après le tiers du domaine (à partir de la gauche), un maximum de tortuosité semble atteint ($ k = 0.9$), avant que les discontinuités n'augmentent et ne transforment le labyrinthe en un amas de branches déconnectées ($ k = 1.2$). Enfin, cette dégénérescence s'achève dans la partie droite du domaine ($ k > 1.4$) par des structures arrondies beaucoup plus grandes, qui sont similaires à celles que nous avons déjà produites grâce au modèle de Walgraef. La rampe linéaire du paramètre $ c$ présente moins d'intérêt. De gauche à droite sur la Figure III-36b, les structures changent lentement d'échelle de taille, mais leur morphologie ne semble pas évoluer. En fait, les différences observées concernent davantage la dynamique des structures: leur instabilité et leur mobilité augmentent avec la valeur de $ c$. C'est ainsi qu'apparaissent des lacunes (ou "trous") oscillantes au sein du labyrinthe; elles sont tout d'abord rares (un seul cas sur la réalisation présentée), puis finissent par envahir tout le milieu, au voisinage du bord droit ($ c > 33$).

Des structures tout aussi complexes sont obtenues à trois dimensions (Figure III-37). Après binarisation, elles prennent l'aspect d'un réseau d'autant plus ramifié qu'il dispose d'un degré de liberté supplémentaire pour se développer. De chaque noeud de réseau partent de nombreuses branches, dans diverses directions; en deux dimensions, ces embranchements ne comportent en général que trois branches (en forme de "Y"). Ce type de milieu évoque par exemple une mousse de polymères très poreuse, ou encore certains tissus de cellules en biologie.

[] [] Un profil spatio-temporel du modèle de Maginu est présenté sur la Figure III-38. Il est difficile de le différencier des profils obtenus dans le cas du Brusselator: les bandes se traduisent également par des lignes horizontales, dont la largeur varie cependant en fonction de l'angle avec lequel elles intersectent le profil mesuré. Les labyrinthes constituent par contre des structures du plus grand intérêt pour effectuer des propagations géodésiques. Il est certain que les chemins de traversée de ces labyrinthes sont difficiles à détecter manuellement. Les tortuosités sont encore plus élevées que dans le cas du modèle de Walgraef. Sur la Figure III-39a, on observera la complication des plus courts chemins (en rouge) qui donnent "la solution optimale du labyrinthe", dont la tortuosité atteint $ 2.5$ fois la distance entre bords. Une grande partie du milieu est accessible (percole) et renferme autant de détours possibles - les seules parties fermées sont colorées en vert. Les chemins du bord gauche au bord droit qui passent par une région colorée en gris clair, comptent parmi les plus détournés - il s'agit en quelque sorte, d'un indicateur de "fausse route". Enfin, l'interconnexion des parois du labyrinthe est élevée (pour $ k = 0.9$), comme le montre une carte des composantes connexes sur la Figure III-39b. Il est étonnant que les différentes composantes (colorées distinctement) induisent un partage du milieu à une échelle bien plus grande que celle des structures. Si l'on trace leurs enveloppes connexes respectives, on obtient alors un modèle intéressant de partition aléatoire macroscopique.

Figure: Simulations 3D par différences finies du modèle de Maginu. Domaines $ 200^3$. Paramètres communs: $ Z_{1}(x, t=0) \approx 0.0$, $ Z_{2}(x, t=0) \approx 0.0$, $ k = 0.9$, $ c = 0.45$, $ D_{2} / D_{1} = 6.0$.
Figure: Modèle de Maginu : tracé spatio-temporel (en fausses couleurs) d'un profil de la concentration $ Z_{1}$. Le temps s'écoule vers la droite de $ t = 0$ à $ t = 2800$. Domaine $ 400 \times 400$. $ K_{r}= 0.025$. Autres paramètres: voir Figure III-37.
Figure: Interconnection des structures produites par le Modèle de Maginu : analyse du "labyrinthe" binaire obtenu par seuillage $ Z_{1} > 0.4$. Domaine $ 600 \times 600$. $ K_{r} = 0.05$. Autres paramètres: voir Figure III-37.
\begin{figure}
% latex2html id marker 4804\centerline {\begin{tabular}{ccc}
\f...
...ef{FDTUGP2D}} & \scriptsize de la phase solide\\
\end{tabular}}\par\end{figure}



Decker, Luc. "Modèles de structures aléatoires de type réaction-diffusion". PhD diss. (191 p.), Paris, ENSMP-CMM, 1999.
Luc Decker   luc@texrd.com   www.texrd.com  -  Mars 1999